Download Stephen Gelbart. Automorphic Forms on the Metaplectic Group PDF

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  • April 21, 2017
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Example text

Man nennt das auch die ellip” tische Geometrie. Zus¨ atzlich gibt es dann eine Polarit¨at (oder Dualit¨at) zwischen Punkten und Geraden: Jedem Großkreis liegt ja genau ein Antipodenpaar gegen¨ uber und umge¨ kehrt (so wie Nord- und S¨ udpol dem Aquator gegen¨ uber liegen). Diese Polarit¨at wird von der orthogonalen Gruppe bewahrt. Sie kann also als ein Teil der elliptischen Geometrie betrachtet werden. Andere typische Bestandteile der sph¨arischen bzw. elliptischen Geometrie werden durch die sogenannte sph¨arische Trigonometrie definiert.

1 das Symbol St einf¨ Gleichung zusammenziehen (x , y , z ) = (x, y, z)St . 4) Diese symbolische Gleichung lautet in Worte u ¨bersetzt: Der Punkt (x , y , z ) geht aus (x, y, z) durch die Transformation St hervor. 5 folgt dann (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (x, y, z)St Sτ . 3 schreiben (x∗ , y ∗, z ∗ ) = (x, y, z)St+τ . 7 ist nun ersichtlich, daß der Punkt (x, y, z) in dieselbe Endlage gelangt, ob man ihn zuerst der Transformation St und dann noch der Transformation ur jeden Punkt Sτ unterwirft oder auf ihn nur die Transformation St+τ wirken l¨aßt.

Gelegentlich l¨asst man dabei auch Spiegelungen zu und erweitert die ¨aquiaffine Gruppe auf solche Transformationen mit det A = ±1 einschließlich sogenannter Affinspiegelungen. B. Spiegelungen. In der ¨aquiaffinen Geometrie kann man zus¨ atzlich zu den Begriffen der affinen Geometrie noch ein n-dimensionales Volumen (Fl¨ acheninhalt f¨ ur n = 2) einf¨ uhren f¨ ur Dreiecke Die euklidische Gruppe 39 (n = 2), Tetraeder (n = 3) und andere geradinig begrenzte kompakte Mengen. Weil die Determinante von A gerade die Volumenverzerrung beschreibt, wird dann das Volumen von jeder ¨aquiaffinen Transformation bewahrt.

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