Download Matrizen und Lie-Gruppen: Eine geometrische Einfuhrung by Wolfgang Kühnel PDF

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  • April 21, 2017
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By Wolfgang Kühnel

Dies ist eine Einführung in die mathematische Theorie der Lie-Gruppen. Etwa die erste Hälfte des Buches handelt von Matrizengruppen. Abstrakte Konzepte (auch Mannigfaltigkeiten) werden erst in der zweiten Hälfte vorgestellt. Zur Motivation und zum besseren historischen Verständnis sind kurze Texte klassischer Autoren (wie Sophus Lie selbst) mit eingeflochten. Außerdem gibt es zur Anschaulichkeit ein eigenes Kapitel, das ausschließlich von diversen geometrischen Transformationsgruppen handelt. Dabei wird konkret auf die klassischen Geometrien eingegangen.
Als Vorkenntnisse werden nur die üblichen Studieninhalte des ersten Jahres im Mathematik- oder Physik-Studium vorausgesetzt, soweit sie die research und die Lineare Algebra betreffen. Das Buch beginnt damit auf sehr elementarem Niveau. Alles andere wird nicht nur eingeführt, sondern alle Sätze werden auch bewiesen. Auf Verständlichkeit wird großen Wert gelegt. Daher eignet sich das Buch insbesondere als Begleittext zu Lehrveranstaltungen (auch Proseminaren) in den Bachelor-Studiengängen, aber auch im Lehramtsstudium und zum Selbststudium.
Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen oder vollständiger Lösung.

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Man nennt das auch die ellip” tische Geometrie. Zus¨ atzlich gibt es dann eine Polarit¨at (oder Dualit¨at) zwischen Punkten und Geraden: Jedem Großkreis liegt ja genau ein Antipodenpaar gegen¨ uber und umge¨ kehrt (so wie Nord- und S¨ udpol dem Aquator gegen¨ uber liegen). Diese Polarit¨at wird von der orthogonalen Gruppe bewahrt. Sie kann also als ein Teil der elliptischen Geometrie betrachtet werden. Andere typische Bestandteile der sph¨arischen bzw. elliptischen Geometrie werden durch die sogenannte sph¨arische Trigonometrie definiert.

1 das Symbol St einf¨ Gleichung zusammenziehen (x , y , z ) = (x, y, z)St . 4) Diese symbolische Gleichung lautet in Worte u ¨bersetzt: Der Punkt (x , y , z ) geht aus (x, y, z) durch die Transformation St hervor. 5 folgt dann (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (x, y, z)St Sτ . 3 schreiben (x∗ , y ∗, z ∗ ) = (x, y, z)St+τ . 7 ist nun ersichtlich, daß der Punkt (x, y, z) in dieselbe Endlage gelangt, ob man ihn zuerst der Transformation St und dann noch der Transformation ur jeden Punkt Sτ unterwirft oder auf ihn nur die Transformation St+τ wirken l¨aßt.

Gelegentlich l¨asst man dabei auch Spiegelungen zu und erweitert die ¨aquiaffine Gruppe auf solche Transformationen mit det A = ±1 einschließlich sogenannter Affinspiegelungen. B. Spiegelungen. In der ¨aquiaffinen Geometrie kann man zus¨ atzlich zu den Begriffen der affinen Geometrie noch ein n-dimensionales Volumen (Fl¨ acheninhalt f¨ ur n = 2) einf¨ uhren f¨ ur Dreiecke Die euklidische Gruppe 39 (n = 2), Tetraeder (n = 3) und andere geradinig begrenzte kompakte Mengen. Weil die Determinante von A gerade die Volumenverzerrung beschreibt, wird dann das Volumen von jeder ¨aquiaffinen Transformation bewahrt.

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